Micromouse – Regelung

Dadurch können Vorwärtsgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit vorgegeben werden, ohne direkt auf die unterliegende Systemebene wie Motorspannung, PWM-Werte oder Motordynamik achten zu müssen.

Charakterisierung des Systems

Das Antriebssystem der Micromouse wird als geregeltes elektromechanisches System betrachtet.

Das Antriebssystem der Micromouse kann vereinfacht über folgende Zusammenhänge beschrieben werden:

Antrieb über DC-Motoren
Spannung U [V] beeinflusst die Motordrehzahl bzw. Geschwindigkeit
Strom I [A] bestimmt das erzeugte Drehmoment
Drehmoment führt zu Beschleunigung

Ein Regler händisch einzustellen ist meist nicht zielführend und zeitaufwendig. Zusätzlich liefert eine rein manuelle Abstimmung oft keine robuste Lösung für unterschiedliche Fahrsituationen. Daher wird zunächst ein mathematisches Modell des Systems bestimmt, mit dem das Systemverhalten beschrieben und die Reglerparameter theoretisch abgeschätzt werden können.

Systemmodell des Motors

Die Motordynamik wird vereinfacht als PT1-System angenähert.

Dabei beschreibt K_m die stationäre Verstärkung des Motors, also wie viel Geschwindigkeit pro Eingangsspannung erreicht wird. Die mechanische Zeitkonstante T_m beschreibt, wie schnell der Motor auf eine Änderung der Eingangsspannung reagiert.

G_v(s)=K_m1 + T_m · s

G_m(s)=K_m1 + T_m · s·1s

G_m(s)=K_mT_m · s² + s

Da für die Micromouse nicht nur die Geschwindigkeit, sondern auch die Position geregelt werden soll, wird das Geschwindigkeitsmodell zusätzlich integriert. Damit ergibt sich das Positionsmodell.

K_m: stationäre Verstärkung [mm/s/V]
T_m: mechanische Zeitkonstante [s]

Modellidentifikation des Motors zur Bestimmung der PT1-Parameter.

PD-Controller

Der PD-Regler besteht aus einem proportionalen und einem differentiellen Anteil.

Positionsregelkreis mit PD-Regler, Strecke und Rückführung.

Der proportionale Anteil K_p reagiert auf den aktuellen Positionsfehler. Der differentielle Anteil K_d reagiert auf die Änderung des Fehlers und wirkt dadurch dämpfend.

G_c(s)=K_d· s +K_p

Open-Loop-Übertragungsfunktion

Die offene Übertragungsfunktion ergibt sich aus der Reihenschaltung von Regler und Strecke. Sie wird hauptsächlich zur Analyse des Systemverhaltens verwendet, z. B. zur Untersuchung der Stabilität.

G_o(s)=G_c(s)·G_m(s)

G_o(s)=(K_d · s + K_p)·K_mT_m · s² + s

G_o(s)=K_m · (K_d · s + K_p)T_m · s² + s

Closed-Loop-Übertragungsfunktion

Für das geregelte System wird eine Rückführung angenommen. Die geschlossene Übertragungsfunktion beschreibt, wie das System auf eine Sollwertänderung reagiert.

G_s(s)=G_o(s)G_o(s) + 1

G_s(s)=K_m · (K_d · s + K_p)T_m · s² + (K_m · K_d + 1) · s + K_m · K_p

G_s(s)=K_mT_m · (K_d · s + K_p)s² + K_m · K_d + 1T_m · s + K_m · K_pT_m

Vergleich mit einem System 2. Ordnung

Das geregelte System kann näherungsweise mit einem Standard-System 2. Ordnung verglichen werden. Dabei beschreibt ω_n die Eigenkreisfrequenz und ζ den Dämpfungsfaktor.

H(s)=A ·ω_n²s² + 2 · ζ · ω_n · s + ω_n²

ω_n²=K_m · K_pT_m

2 · ζ · ω_n=K_m · K_d + 1T_m

Bedeutung des Dämpfungsfaktors

Der Dämpfungsfaktor ζ beeinflusst vor allem das Überschwingen des Systems. Ein kleiner Wert führt zu schnellerem, aber stärker überschwingendem Verhalten. Ein größerer Wert reduziert das Überschwingen, macht das System aber langsamer.

Typische Wahl:

ζ=0.707

Dieser Wert ist ein sinnvoller Kompromiss zwischen schnellem Einschwingen und moderatem Überschwingen.

Bedeutung der Settling Time

Die Settling Time T_D beschreibt, wie lange das System braucht, bis es dauerhaft nahe am Endwert bleibt. Im Dokument wird T_D näherungsweise als die Zeit betrachtet, nach der das System innerhalb eines kleinen Fehlerbands bleibt.

ω_n≈4ζ · T_D

Eine kleinere Settling Time führt zu einer größeren Eigenkreisfrequenz. Dadurch werden die Reglerparameter größer und das System reagiert aggressiver.

Bestimmen von K_p und K_d

Aus dem Koeffizientenvergleich lassen sich die Reglerparameter bestimmen. Da ω_n von ζ und T_D abhängt, können K_p und K_d über gewünschte Dynamikvorgaben eingestellt werden.

K_p=T_m · ω_n²K_m

K_d=2 · ζ · ω_n · T_m - 1K_m

Modellidentifikation und Reglerberechnung

Die Modellparameter können direkt aus der Sprungantwort abgelesen werden. Mithilfe der oben beschriebenen Formeln können daraus anschließend die Reglerparameter bestimmt werden.

PT1-Fit der Vorwärtsgeschwindigkeit — Sprungantwort und PT1-Fit für die Vorwärtsgeschwindigkeit.

PT1-Fit der Winkelgeschwindigkeit — Sprungantwort und PT1-Fit für die Winkelgeschwindigkeit.

Forward Velocity

Parameter	Wert	Einheit
Km_vel	1.411590	mm/s pro input
Tm_vel	0.230555	s
t0_vel	0.005480	s
y_inf	1129.271945	mm/s
Kp_pos	98.355425	-
Kd_pos	4.958947	-
Td_pos	0.230555	s

Yaw Rate

Parameter	Wert	Einheit
Km_yaw	0.037419	rad/s pro input
Tm_yaw	0.120276	s
t0_yaw	0.012810	s
y_inf	14.967694	rad/s
Kp_ang	124.132427	-
Kd_ang	3.264995	-
Td_ang	0.120276	s

Gesamtsystem

Das Regelungssystem kombiniert Trajektorienvorgabe, Positionsregelung und Winkelregelung.

Das Gesamtsystem besteht aus:

Geschwindigkeitssteuerung mit Trajektorienvorgabe
Positionsregler für linken und rechten Motor
Winkelregler mit Sollwertvorgabe durch die Wandsensoren

Gesamter Regleraufbau — Gesamtsystem aus Trajektorienvorgabe, Positionsreglern und Winkelregler.

Feedforward-Regelung

Um das Regelverhalten zu verbessern, kann der PD-Regler um eine Vorwärtssteuerung ergänzt werden.

Dabei wird aus der vorgegebenen Sollgeschwindigkeit die notwendige Spannung bzw. der passende PWM-Wert geschätzt. Dadurch wird der PD-Regler entlastet, wodurch dessen Einstellung einfacher wird.

Positionsregelkreis mit Feedforward — Positionsregelkreis mit zusätzlichem Feedforward-Zweig.

Vergleich ohne und mit Feedforward

In der Trajektorie einer Regelung ohne Feedforward sind das Geschwindigkeitsprofil, die Reglerspannung und die Ist-Geschwindigkeit dargestellt. Speziell an den Stellen, an denen es zu Änderungen des Geschwindigkeitssollwerts kommt, hat der Regler Schwierigkeiten, sich schnell dem Zielwert anzunähern.

Rot: Geschwindigkeitsprofil
Gelb: Reglerspannung
Dunkelrot: Ist-Geschwindigkeit

Regelung mit Feedforward — Regelung mit aktiviertem Feedforward-Zweig; die Reglerspannung liegt nahe null.

Feedforward-Berechnung

Die Schätzung der Motorspannung kann mithilfe einer linearen Funktion durchgeführt werden. Die Gerade wird aus den Endgeschwindigkeiten bei verschiedenen PWM-Werten bzw. Motorspannungen bestimmt. Aus der daraus entstehenden linearen Kennlinie kann für eine gewünschte Geschwindigkeit der zugehörige PWM-Wert bzw. die erforderliche Motorspannung abgelesen werden.

Lineare Feedforward-Kennlinie — Lineare Kennlinie zur Schätzung des Feedforward-Anteils.

Feedforward-Messungen — Messungen zur Feedforward-Parameterbestimmung.

Auswertung der Messpunkte zur Feedforward-Kennlinie.

Feedforward-Parameterbestimmung

Die konkreten Messungen der Micromouse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst.

PWM	v_ss [mm/s]	τ_est [s]	K_fit	τ_fit [s]
200	238.53	0.2200	236.68	0.2164
400	691.85	0.2600	692.85	0.2400
600	1124.95	0.2400	1131.30	0.2373
800	1580.77	0.2600	1586.12	0.2491
1000	1952.19	0.2600	1967.22	0.2317

Globaler Feedforward-Fit

Parameter	Wert	Einheit
k_V	0.458874	PWM/(mm/s)
k_S	84.761725	PWM
τ_mean	0.234885	s
k_A	0.107783	PWM/(mm/s²)

Quellen

Die Quellen entsprechen den im Markdown-Dokument referenzierten Unterlagen.